Gödel és a fizika

Amikor megkaptam Davis Salisburg: The Lady Tasting Tea című könyvét, amelyben a statisztika története van olvasmányosan leírva, azonnal olvasni kezdtem. Engem elsősorban az "Is There Such a Thing as Cause and Effect?" című fejezet érdekelt. Ebből megtudtam, hogy Alfred North Whitehead és Bertrand Russel írtak egy Principia Mathematica című könyvet, amelyben kimutatták, hogy nem sikerült a matematikai logikában olyan érvelést felírni, amely azt fejezi ki, hogy "A okozza B-t". Ez bizony megrázó! Aki keresett hibát egy programban, vagy próbált megjavítani egy nem működő berendezést, az alaposan meglepődik azon, hogy az ok és a hatás nem fogalmazható meg a matematikai logikában. Elég volt belepillantanom a Principia Mathematica első pár oldalában hogy rájöjjek: ezt a könyvet nem fogom elolvasni. Egy szokatlan jelölésrendszer elsajátítása, rengeteg definíció átrágása lett volna a feltétele a bevezetés megértésének. Úgy döntöttem, beérem egy kevésbé szakszerű magyarázattal.

A Typotexnél megjelent "Gödel nemteljességi tételei" című könyv jelentősen könnyebb olvasmánynak bizonyult. Maga a Gödel tétel egyszerű: Ha L korrekt és a [pic] halmaz kifejezhető L-ben, akkor van olyan (L-beli) igaz mondat, amely L-ben nem bizonyítható.

Itt L egy nyelv (pl. az aritmetika értelmes mondataiból álló nyelv). Egyszerű és érthető. A könyv néhány szimbólumot használva mutatja be Gödel gondolatmenetét: egy axiomatikus rendszer állításai megfeleltethetőek természetes számoknak. A könyvet javaslom a matematika iránt érdeklődőeknek.

A Gödel-tétel tehát az axiomatikus rendszerek teljességét tagadja. Ilyen axiomatikus rendszer például a geometria. A fizika nem axiomatikus rendszer, modellekkel dolgozik. Azonban egy modell is felfogható axiomatikus rendszerként: a modell feltevéseit tekinthetjük axiómáknak és a belőlük logikai úton előállított kijelentéseket, vagy megfigyeléseket tételeknek. Gödel tétele azt mondja, mindig lehet olyan állítás, amely nem bizonyítható de nem is cáfolható a modell keretei között. A fizika úgy halad, hogy az újabb megfigyeléseket beilleszti a modellbe. Ha szükséges, akkor az axiómák számát növeli. Ha a beillesztendő megfigyelés ellentmondásra vezet, akkor a modellt (vagyis a modell alapját adó axiómákat) módosítani kell. Erre példa a gyenge kölcsönhatások esete, ahol a megfigyelések szerint nem teljesült az energiamegmaradás és a keletkező elektron energiája is folytonosan változott. Megvizsgálták azt a lehetőséget, hogy sérül az energiamegmaradás. Megvizsgálták azt a lehetőséget is, hogy egy eddig ismeretlen részecske is keletkezik, az viszi el a hiányzó energiát. A megfigyelések később a második hipotézist támasztották alá majd tíz évvel később. A Gödel-tételt tehát így lehet röviden megfogalmazni (John Casti):

Gödel-tétel, formális logikai változat: Az aritmetika minden konzisztens formalizációjában léteznek aritmetikai állítások, amelyek nem bizonyíthatóak az adott formális rendszeren belül.

A Gödel-tétel sok helyen alkalmazható, hiszen modellekkel dolgoznak a fizikusok is, a mérnökök is. Gondoljunk például arra, hogy a bonyolult ipari rendszereket (űrhajó, repülőgép, atomerőmű) különálló modellek alapján terveznek, ezek alkalmazhatóságáról meg kell győződni. Ezt nevezik a modell validálásának. A kérdés tehát, hogy be lehet-e látni egy modell alkalmasságát, nem elméleti, hanem mindennapjainkat érintő valóság. Ma is vannak nézetek, miszerint soha nem tudunk meggyőződni egy modell, elmélet ellentmondásmentességéről. Csak két véleményt idézek. Az elsőt N. Oreskes és munkatársaitól (Science 263, 641(1994)):

"A természetes rendszerek numerikus modelljeinek verifikálása és validálása lehetetlen. Ez amiatt van, hogy a természetes rendszerek sohasem zártak és a modell eredményei mindig többértelműek."

A másodikat Sterman és munkatársaitól (Science 264, 329(1994)):

"Bármely elmélet meghatározatlan és így verifikálhatatlan, függetlenül attól, hogy egy nagyméretű számítógépi modellben vagy a legegyszerűbb egyenletekben ölt testet."

A fizika -- és szerencsére a mérnöki tudományok -- azonban fütyülnek ezekre az ellenvetésekre. Szépen, türelmesen és fokozatosan javítgatják a modelleket. Szinte minden területen találunk megmagyarázatlan jelenségeket, ellentmondásokat de ettől senki sem esik pánikba. A modellek pedig szépen fejlődnek, egyre több dolog leírására alkalmasak. A mérnökök pedig szorgalmasan elemzik a balsikereket, az apró hibától a katasztrófáig, a tapasztalatok alapján pedig módosítják a technológiát, a gyártási előírásokat vagy éppen az üzemviteli szabályokat. Az angol vegyipar a kilencvenes években bevezette az atomerőműveknél is használatos eseményelemzést és hibaanalízist és pár év alatt egy tizedére csökkentek a balesetek. Az elemzések eredményét mindannyian látjuk: a vonatok közlekednek, a repülőgépek nagy biztonsággal célba érnek. Ráadásul, az elemzések döntő többségéből az derül ki, hogy a hiba oka egy ember.

A fizikai modellhez hasonló axiomatikus rendszerek a matematikában is előfordulnak. Vegyük először a számítástechnikát. Alan Turing (1912-1954) megalkotott egy "elvi számítógépet", amely beolvas egy számot, csinál valamit, végül kiír egy számot[1]. Belátható, hogy amit egy számítógép meg tud oldani, azt Turing egyszerű masinája is meg tudja oldani. A Turing-gép is axiomatikus rendszer, rá is vonatkozik Gödel idézett tétele. Ennek eredményét Casti így foglalta össze:

Gödel-tétel, Turing-gép változat: Nem létezik olyan számítógépi program, amely valaha is előállítaná az aritmetika minden igaz állítását.

A Turing-gép lehetővé tette egy x szám bonyolultságának (komplexitásának) mérését, erre alkalmazható például az x-et előállító program hossza.

Gödel-tétel, komplexitás változata: Léteznek számok, amelyek komplexitása nagyobb, mint amit bármely matematikai elmélet bizonyítani tud.

Meglepő viszont, hogy a Fizikai Szemle 2004/10-es számában megjelent egy írás (Jáki Szaniszló: Egy megkésett ébredés: Gödel a fizikában), amely a Gödel-tétel sajátos alkalmazását sürgeti a fizikában. A szerző erősen érvel az ellen, hogy létre lehet hozni egy univerzális fizikai elméletet. Kétkedésének oka a Gödel-tétel. Az érvelés eléggé furcsa, hiszen a fizika nyitott tudomány, soha nem is állították művelői, hogy belátható időn belül egyetlen axiomatikus rendszerbe lehet majd összefoglalni a fizika eredményeit. A nyitottság pontosan azt jelenti, hogy a fizikai modelleket pontosítgatjuk, tökéletesítgetjük, de a fizika egyetlen területe sem tekinthető lezártnak. Igaz, jelentős erők dolgoznak pl. a kvantumfizika és a gravitáció közös, egyesített elméletén. Lehet, hogy ez a törekvés sohasem vezet eredményhez, de nem valószínű, hogy a Gödel-tétel miatt. Elképzelhető, hogy a fizikai jelenségek világa összebékíthetetlen modellekből áll, amilyen a határozatlansági összefüggés és a gravitáció. Ha mégis, akkor is egy egyesített, de ismét nyitott elméletet kapunk, amelyben feltehetően továbbra is maradnak nyitott kérdések. Szó sincs tehát "végső fizikai elméletről", vagy az "elemi részecskék végső elméletéről".

Irodalom

- Raymond Smullyan: Gödel nemteljességi tételei, Typotex, 2006
- John L. Casti, Anders Karlqvist (ed.): Beyond Belief: Randomness, Prediction and Explanation in Science, CRC Press, Boca Raton, 1991

___________
[1] A Turing-gépről részletesen írtam Merre vagy szellem napvilága? című könyvem 1.5 fejezetében, Typotex, 2004.

Makai Mihály